Question

12. Determinati numerele naturale nenule a si b,a mai mic sau egal cu b,pentru care au loc relatiile:
(a,b)=15
[a,b]=360.

VA ROG! DAU COROANA!

Answer 1

Răspuns:

Sunt două soluții:

a = 15 și b = 360

a = 45 și b = 120

Explicație pas cu pas:

Știm că (a,b) · [a,b] = a · b.

(a, b) = 15 = 3 · 5  toți acești factori și doar aceștia sunt comuni, ei se regăsesc în ambele numere

[a, b] = 360 = 36 · 10 = 4 · 9 · 2 · 5 = 2³ · 3² · 5  aceștia sunt toți factorii, comuni și necomuni, din cele două numere

⇒ factorii necomuni sunt 2³ · 3

Compunem numerele folosind în fiecare, obligatoriu, factorii comuni 3 · 5, și repartizând ceilalți factori 2³ · 3 fie într-un număr, fie în celălalt, până epuizăm toate variantele. Ținem cont și de faptul că a ≤ b.

a = 3 · 5 = 15

b = 3 · 5 · 2³ · 3 = 360

a = 3 · 5 · 3 = 45

b = 3 · 5 · 2³ = 120

Acestea sunt toate variantele posibile, deoarece a trebuie să fie ≤ b.