Question

126, 129,130 ....
urgent va rog dau coroană

Answer 1

126. a)

$a=2^3*2^6*2^9*...*2^{300}=2^{3+6+9+...+300}=2^{3*(1+2+3+...+100)}=2^{3*100*101:2}=2^{1010*15}=2^{15150}$

Pentru ca:

$u(2^1)=2$ -pentru restul 1

$u(2^2)=4$ -pentru restul 2

$u(2^3)=8$ -pentru restul 3

$u(2^4)=6$ -pentru restul 0

$u(2^5)=2$

Vom imparti 15150 la 4 (atatea resturi distincte a creat ultima cifra a lui 2) pentru a vedea care este ultima cifra a lui 2 pentru acea putere.

15150:4=3787 rest 2

Asadar, $u(2^{15150})=4$

b)

$b=2^4*3^{1008}+(3^4)^{302}:9^{100}-2^3*9^{504}=2^4*3^{1008}+3^{1208}:(3^2)^{100}- 2^3*(3^2)^{504}=2^4*3^{1008}+3^{1208}:3^{200}-2^3*3^{1008}=2^4*3^{1008}+ 3^{1008}-2^3*3^{1008}=3^{1008}*(2^4+1-2^3)=3^{1008}*(16+1-8)=3^{1008}*9= 3^{1008}*3^2=3^{1010}$

$a=2^{15150}$

Propozitia $a=b^{10}$ devine:

$2^{15150}=(3^{1010})^{10}$

$2^{15*1010}=(3^{10})^{1010}$

$(2^{15})^{1010}=(3^{10})^{1010}$

$(2^{3})^{5*1010}=(3^{2})^{5*1010}$ (Fals)

Deoarece: $2^3<3^2$

129.

$A=2^1+2^2+2^3+...+2^{1996} /*2$

$2*A=2^2+2^3+2^4+...+2^{1997}$

Scazand cele doua ecuatii, vom obtine:

$A=2^{1997}-2^1$

Pentru ca:

$u(2^1)=2$ -pentru restul 1

$u(2^2)=4$ -pentru restul 2

$u(2^3)=8$ -pentru restul 3

$u(2^4)=6$ -pentru restul 0

$u(2^5)=2$

Vom imparti 1997 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 2 la puterea 1997.

1997:4=499 rest 1

Asadar, $u(2^{1997})=2$

Rezulta, $u(2^{1997}-2^1)=0$

130.

$A=3^{1995}-2*3^{1994}-2*3^{1993}-...-2*3^{1197}=3^{1994}*(3-2)-2*3^{1993}-...-2*3^{1197} =3^{1994}-2*3^{1993}-...-2*3^{1197}=3^{1993}*(3-2)-...-2*3^{1197}=.......=3^{1197}^(3-2)= 3^{1197}$

Pentru ca:

$u(3^1)=3$ -pentru restul 1

$u(3^2)=9$ -pentru restul 2

$u(3^3)=7$ -pentru restul 3

$u(3^4)=1$ -pentru restul 0

$u(3^5)=3$

Vom imparti 1197 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 3 la puterea 1197.

1197:4=299 rest 1

Asadar, $u(3^{1197})=3$

$B=1+2^1+2^2+...+2^{1994} /*2$

$2*B=2+2^2+2^3+...+2^{1995}$

Scazand cele doua ecuatii, vom obtine:

$B=2^{1995}-1$

Pentru ca:

$u(2^1)=2$ -pentru restul 1

$u(2^2)=4$ -pentru restul 2

$u(2^3)=8$ -pentru restul 3

$u(2^4)=6$ -pentru restul 0

$u(2^5)=2$

Vom imparti 1995 la 4 pentru a vedea care este ultima cifra a numarul 2 la puterea 1995.

1995:4=498 rest 3

Asadar, $u(2^{1995})=8$

Rezulta, $u(2^{1995}-1)=7$

Comaram A si B:

$A=3^{1197}=3^{3*399}=(3^3)^{399}=27^{399}$

$B=2^{1995}-1=2^{5*399}-1=(2^5)^{399}-1=32^{399}-1$

Rezulta, A<B