Question

13. Impartind numerele 602, 507, 336 și 279 la acelaşi număr natural nenul, obținem de fiecare data caturi diferite si acelaşi rest. Suma dintre împărțitor și rest este egală cu: a.32 b.13 c.30 d.18

14. Dacă A = {xE N|3×5la puterea n <sau= cu x <sau= cu 5 la puterea n+1} și card(A) = 1251, atunci numărul natural n are valoarea: a.3 b.5 c.4 d.8​

Answer 1

13. Raspuns a) 32

Notăm nr. la modul general

X = împărțitor; E = restul; A, B, C, D = câtul

A*X+ E = 602

B*X + E = 507

C*X + E = 336

D*X + E = 279

Calculăm diferentele dintre nr. două câte două

A*X+E - (B*X + E) = 602-507 = 95 această scădere este practic diferența dintre X * (A-B) = 95

Se procedează la fel și pentru nr celelalte

X * (B-C) = 507-336 = 171

X * (C-D) = 336-279 = 57

Pentru nr. 95, 171, 57 aflăm cel mai mai mare divizor comun

95 :5 = 19; 19:19=1, deci 95 = 5 * 19

171 : 3 = 57; 57 : 3 = 19, deci 171 = 3 * 3 * 19

57 : 3 = 19, deci 57 = 3 * 19

Cel mai mare divizor comun pentru nr. 95, 171, 57 este 19.

Cum

X * (A-B) = 95 = 5 * 19

X * (B-C) =  171 = 3 * 3 * 19

X * (C-D) = 57 = 3 * 19

Se poate deduce X = 19

Pentru a afla E putem deduce cu aproximație de câte ori intra 19 în 602

602 : 19 = 26 rest 13; deci E = 13

X + E = 19 + 13 = 32

14. Raspuns c) 4

card (A)- reprezintă nr. de elemente din mulțimea A

În cazul de aici sunt 1251 elemente.

Observație Dacă spre exemplu avem un caz concret 4 ≤ x ≤ 8, x va putea fi 4, 5 , 6, 7, 8. Adică card mulțimii va fi 5. DAR, diferența dintre limite 8 - 4 = 4. Se poate vedea o relație între cardinal și diferența dintre limite atunci când avem semnul " $\leq$card mulțimii = diferenta dintre limite +1.

În cazul de față calculăm diferența dintre limite $5^{n+1} - 3 * 5^{n} = 1251 - 1$$5 * 5^{n} - 3 * 5^{n} = 1250$

$2 * 5^{n} = 1250$

$5^{n} = 625$ = 5*5*5*5

n = 4