Question

13. In triunghiul ABC, [AD] este mediană, D apartine BC. Se ia punctul E apartine (AD astfel încât DE congruent AD
a) Arătați ca AC|| BE;
b) Demonstrați că în orice triunghi mediana este mai mică decât media aritmetică a lungimilor
laturilor care au un vârf comun cu mediana.
​

Answer 1

Răspuns:

E va fi situat la prelungirea medianei

Explicație pas cu pas:

se formează patrulaterul ABEC la care diagonalele se înjumătățesc, deci este un paralelogram, deci are laturile opuse paralele

AC||BE

cu notațiile consacrate a lungimilor laturilor

AB=c

BC=a

AC=b

AD= m

și ținând cont de inegalitățile dintr un triunghi: lungimea unei laturi < suma lungimilor celorlalte două

pe care o aplicam in triunghiurilor ABD și ACD

m<(c+a/2)

m<b+c/2

le adunam

2m<(a+b+c)

avem și inegalitatea din triunghiul ABC

a<b+c

deci

2m<(b+c)+b+c

2m<2(b+c)

m<b+c

suma a două