Question

13. Pe mulțimea C se defineşte legea de compoziție Z1 Z2 = Z1 Z2 + O +i (Z₁ + Z₂) - 1-i, Z₁, Z2 E C. Dacă m este modulul elementului neutru al legii ,,o", atunci: 99 a) m = 1; b) m = √√5; c) m = √2; d) m = √3; e) m = 2√2. (ASE, Bucureşti, 1998)​

Answer 1

Răspuns:

Probabil că legea de compoziție este

$z_1\circ z_2=z_1z_2+i(z_1+z_2)-1-i$

Legea se mai scrie

$z_1\circ z_2=z_1(z_2+i)+i(z_2+i)-1=(z_1+i)(z_2+i)-1$

Se observă legea este comutativă.

Fie e elementul neutru. Atunci

$z\circ e=z, \ \forall z\in\mathbb{C}\Rightarrow (z+i)(e+i)-e=z\Rightarrow (z+i)(e+i)-(z+1)=0\Rightarrow\\\Rightarrow (z+i)(e+i-1)=0, \ \forall z\in\mathbb{C}\Rightarrow e=1-i$

Egalitatea $e\circ z=z, \ \forall z\in\mathbb{C}$ se verifică datorită comutativității.

Deci $e=1-i\Rightarrow m=|e|=\sqrt{2}$.

Explicație pas cu pas: