Question

13. Să se demonstreze că dacă numerele a, b, c sînt în progresie aritmetică, atunci şi numerele
a^2- bc, b^2 - ac, c^2 - ab sînt în progresie aritmetică.​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Se dă, numerele a, b, c sânt în progresie aritmetică, atunci  2b=a+c  (1)

Trebuie să demonstrăm că  numerele a²-bc, b²-ac, c²-ab sunt în progresie aritmetică.

Atunci, tr. să arătăm că a²-bc+c²-ab=2·(b²-ac)  (2) (proprietatea caracteristică a progresiei aritmetice, că fiecare termen începînd de la al doilea este medie aritmetică a vecinilăr săi)

a²-bc+c²-ab=a²+c²+2ac-2ac-ab-bc=(a+b)²-2ac-b(a+c)=      folosim (1)

=(2b)²-2ac-b·2b=4b²-2ac-2b²=2b²-2ac=2·(b²-ac).  Deci se verifică proprietatea caracteristică (2), deci numerele a²-bc, b²-ac, c²-ab sunt în progresie aritmetică.

Answer 2

Se dau  numerele a, b, c în progresie aritmetică, deci: 

2b = a + c       (1)

Dacă a²- bc + c²- ab = 2·(b²- ac) , atunci numerele

a²- bc,  b²- ac, c²- ab vor fi în progresie aritmetică.

Vom verifica acest lucru.

a²- bc + c²- ab = a²+c² + 2ac - 2ac - ab - bc = (a+c)²- 2ac - b(a+c)   (2)

(1), (2) ⇒ a²- bc + c²- ab = (2b)²- 2ac - b·2b = 4b²- 2ac - 2b² =

= 2b²- 2a c =2·(b²-ac).  

Așadar,  se  verifică proprietatea caracteristică , deci numerele

a²- bc,  b²- ac,  c²- ab  sunt în progresie aritmetică.