Question

149. Fie ABC un triunghi echilateral şi M un punct arbitrar pe latura BC, (MeBC). Fie ME şi MF distan- tele de la punctul M la laturile AB si AC. Să se arate că suma ME+MF este constantă şi egală cu înălţimea triunghiuluidat (fig. 111.23).​

Answer 1

Răspuns:

ME + MF = h

Explicație pas cu pas:

notăm cu h înălțimea triunghiului ABC

AB ≡ AC ≡ BC = a

$Aria_{\triangle AMB} = \frac{ME \cdot AB}{2} = \frac{ME \cdot a}{2} \\ Aria_{\triangle AMC} = \frac{MF \cdot AC}{2} = \frac{MF \cdot a}{2}$

$Aria_{\triangle ABC} = \frac{h \cdot BC}{2} = \frac{h \cdot a}{2}$

$Aria_{\triangle ABC} = Aria_{\triangle AMB} + Aria_{\triangle AMC} \\ \iff \frac{ME \cdot a}{2} + \frac{MF \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2} \\ \implies \red {\bf ME + MF = h}$

q.e.d.