Question

157. Prin virfurile unui triunghi se duc drepte paralele la laturile opuse. Să se demonstreze că triunghiul format de aceste drepte este alcătuit din patru triunghiuri congruente cu cel dat şi că fiecare dintre laturile lui este de două ori mai mare decât latura corespunzătoare a triunghiului dat.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ΔABC; prin vârfurile triunghiului se duc drepte paralele la laturile opuse

notăm cu M, N și P intersecțiile și avem:

A ∈ PN, PN || BC

B ∈ PM, PM || AC

C ∈ MN, MN || AB

=>

AP || BC și AC || PB => APBC paralelogram

=> ΔABC ≡ ΔBAP => BC ≡ AP și AC ≡ BP

AN || BC și AB || NC => ABCN paralelogram

=> ΔABC ≡ ΔCNA => BC ≡ AN și AB ≡ CN

AC || BM și AB || CM => ACMB paralelogram

=> ΔABC ≡ ΔMCB => AB ≡ CM și AC ≡ BM

=> ΔABC ≡ ΔBAP ≡ ΔCNA ≡ ΔMCB

și

PN = AP + AN = 2×BC

PM = BP + BM = 2×AC

MN = CN + CM = 2×AB

q.e.d.