(15p) 2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x*y=xy-3x-3y+12.. (5p) a) Să se calculeze: -1*2*3. (5p) b) (5p) c) Så se determine elementul neutru al legii de compoziţie "*". Să se determine numerele naturale neN astfel încât n*n≤7.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Pentru a calcula -1 * 2 * 3, trebuie să aplicăm legea de compoziţie asociativă de mai multe ori. În primul pas, calculăm -1 * 2 = (-1 * 2) - 3 * -1 - 3 * 2 + 12 = -2 - 3 - 6 + 12 = 1. În al doilea pas, calculăm 1 * 3 = (1 * 3) - 3 * 1 - 3 * 3 + 12 = 3 - 3 - 9 + 12 = -3. Astfel, rezultatul expresiei -1 * 2 * 3 este -3.
b) Elementul neutru al legii de compoziţie "*" este acel element x din mulţimea numerelor reale care îndeplineşte propoziţia x * y = y * x = y pentru orice y din mulţimea numerelor reale.
Pentru a determina elementul neutru, trebuie să rezolvăm ecuaţia x * y = y pentru y = 1. Astfel, obţinem ecuaţia x * 1 = 1. Înlocuind valorile lui x şi y din legea de compoziţie, obţinem ecuaţia x = 1 - 3 * x - 3 * 1 + 12 = 1 - 3 * x + 9. Rezolvând această ecuaţie, obţinem x = 1.
Astfel, elementul neutru al legii de compoziţie "*" este 1.
c) Pentru a determina numerele naturale neN astfel încât n * n ≤ 7, trebuie să rezolvăm ecuaţia n * n ≤ 7 pentru n. Înlocuind valorile lui n şi n din legea de compoziţie, obţinem ecuaţia n * n - 3 * n - 3 * n + 12 ≤ 7, adică -6 * n + 12 ≤ 7. Reorganizând termenii, obţinem -6 * n ≤ -5, adică n ≤ 5/6.
Numerele naturale neN care îndeplinesc această condiţie sunt 1, 2, 3, 4 şi 5.