16. Apreciază cu DA/NU fiecare afirmatie: a) Suma a două numere naturale rămâne constantă, dacă unui termen adaugă 75, iar din celălalt se ia 75. b) Insumând patru numere impare, rezultatul va fi un număr par. c) Alege oricare patru numere naturale consecutive. E adevărat că primul însumat cu al treilea dă un număr egal cu suma dintre al doilea și al patrulea? d) Într-o succesiune de trei numere consecutive (fie pare, fie impare), dintre primul şi ultimul reprezintă dublul celui din mijloc.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a) DA (cu observații)
b) DA
c) NU
d) ai uitat sa scrii ce anume dintre primul și ultimul. Daca este suma atunci răspunsul este DA
Explicație pas cu pas:
a) Adunarea este comutativă și asociativă
(a+75)+(b-75)=a+b+75-75=a+va
Aici totuși ar fi o mică observație. Daca se păstrează exact ordinea operațiilor din enunț, este posibil că, scăzând din al doilea 75, sa se obțină un număr negativ, adică un număr care nu mai este natural ci întreg. Dar, in final, rezultatul va fi tot numărul natural a+b.
b) impar1+impar2=par(*)
par(*)+impar3=impar(*)
impar(*)+impar4=par.
Sau, altfel spus, impar+impar=par. Deci luate cate două, vei obține 2 rezultate pare, care adunate, dau par.
c) k, k+1, k+2, k+3
primul plus al treilea:
k+(k+2)=2k+2
al doilea plus al patrulea
(k+1)+(k+3)=2k+4
Evident 2k+2 este diferit de 2k+4
d) k, k+1, k+2
primul plus al treilea:
k+(k+2)=2k+2=2(k+1) adică este dublul celui din mijloc.
La d) enunțul este puțin ambiguu. S-ar putea interpreta ca 3 numere consecutive, toate 3 pare sau toate 3 impare.
Dar și în situația respectivă afirmația este adevărată.
Daca sunt consecutive pare:
2k, 2k+2, 2k+4
primul plus al treilea:
2k+(2k+4)=4k+4=2(2k+2) adică dublul celui din mijloc
Analog daca sunt consecutive impare
2k+1, 2k+3, 2k+5
primul plus al treilea:
(2k+1)+(2k+5)=4k+6=2(2k+3) adică dublul celui din mijloc.
Generalizare: in orice șir cu pas constant, orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică dintre termenul anterior și termenul următor.
k, k+pas, k+2pas
primul plus al treilea:
k+(k+2pas)=2k+2pas=2(k+pas) adică dublul celui din mijloc. Sau, cu alte cuvinte, cel din mijloc este egal cu (primul + al treilea)/2, adică media aritmetică.
Exemplu:
11, 16, 21
Adică 3 numere cu pasul 5.
11+21=32 care este dublul lui 16. Sau, altfel spus, 16 este medie aritmetică dintre 11 și 21.
16=(11+21)/2
a) Am putea lua 100 ca suma, a+b=100
Adaugam 75 la primul
a+75+b=175
Scadem 75 din al doilea
a+75+b-75=a+b+0=100
Deci este ADEVARAT.
b) 1+3+5+7=4+12=16
3+5+7+9=8+16=24
ADEVARAT
Orice numar impar adunat cu un numar impar da un numar par, pentru adunarea cu mai multi termeni impari, conditia ca suma sa fie para este ca numarul termenilor sa fie deasemenea par.
Exemplu: 1+3+5+7=16, dar 1+3+5=9
c) 21,22,23,24
21+23=44
22+24=46
FALS
Puteam avea orice numar n cu cei 3 succesori, notati n+1,n+2,n+3. Condiția noastra era ca n+(n+2)=(n+1)+(n+4)
<=> 2n+2=2n+5
2=2n-2n+5
2=5 (F)
d) 40,41,42
40+42=82
82÷2=41
Presupun ca zice de suma dintre primul ultimul, daca da, atunci este ADEVARAT
Putem lua din n cu 2 succesori, n+1 si n+2
Conditia este ca 2×(n+1)=n+(n+2)
<=> 2n+2=2n+2 (A)