Question

16 Arătaţi că numărul A = 1 +2^1+2^2+...2^124 este divizibil cu:
a 5;
b 7;
C 15.
Rezolvare:​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Se cere sa se arata ca numarul A este divizibil cu 3 ; 5 ; 7 sau 15

A = 1 + 2¹ + 2² + ......+2¹²⁴

---------------------------------

Pentru a fi divizibil macar cu unul din cele 4 numere date ,

aranjam termenii in asa fel incat sa putem la final sa dam factor comun.

Observam ca numarul A are de fapt 125 de termeni .

Se poate imparti in grupuri de cate 5 .

A = (1+2¹+2²+2³+2⁴) + 2⁵(1+2¹+2²+2³+2⁴) + 2¹⁰(1+2¹+2²+2³+2⁴)+....

......+ 2¹²⁰(1+2¹+2²+2³+2⁴) = 31·(2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰)

Deci A este divizibil cu 31

A = 31·(1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰)

Verificam daca 1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ este divizibil cu unul din numere

u(2⁵) = 2 ; u(2¹⁰) = 4 ; u(2¹⁵) = 8 ; u(2²⁰) = 6

Acestea se repeta din 4 in 4 ; 120 = 30·4

u(1+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰) = u(1+(2+4+8+6)·30) = 1

Am eliminat posibilitatea ca numarul A sa fie

divizibil cu 5 sau cu 15 .

Pentru a verifica daca este divizibil cu 3 sau cu 7

am calculat suma 2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ .....

Mai jos in cele 3 poze am demonstrat ca numarul

2⁰+2⁵+2¹⁰+....+2¹²⁰ nu este divizibil nici cu 3 , nici cu 7 =>

nici numarul A nu este divizibil cu cele doua numere.

Mai jos am concluzionat ca poate enuntul a fost

gresit si am inlocuit  numarul A din enunt astfel:

A = 1 + 2¹ + 2² + ......+2¹²³

A = 2⁰(1+2¹+2²+2³) + 2⁴(1+2¹+2²+2³) +2⁸(1+2¹+2²+2³)+.....+2¹²⁰(1+2¹+2²+2³)

A = (1+2¹+2²+2³)·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰)

A = (1+2+4+8)·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰)

A = 15·(2⁰+2⁴+2⁸+.....+2¹²⁰) =>

A este divizibil cu 3 ; cu 5 si cu 15.