Question

16 Demonstrați că 10 la puterea 24 divide produsul primelor 100 de numere naturale nenule.​

Answer 1

Răspuns:

Adevarat

Explicație pas cu pas:

Trebuie gasiti, printre primele 100 de numere naturale nenule, toti multiplii de 5 si de 2. Produsul dintre acesti multipli ne va da numarul de zerouri de la sfarsitul produsului (pentru ca produsul poate fi scris ca un numar inmultit cu 10 la o anumita putere)

Astfel, avem: -multipli de 5: 5,10,15,20...95,100 => 20 de multipli de 5

Deoarece:

$25=5^{2} \\50=2*5^{2}\\75=3*5^{2}\\100=4*5^{2}$  => Ii numaram inca o data pe acestia 4 => sunt 24 de numere inmultite cu 5 printre primele 100 de nr naturale nenule

Observam ca sunt mult mai multi multipli de 2 (doar cei inmultiti cu 2 la puterea 1 sunt in numar de 50: 2,4,6,8...98,100) decat multipli de 5.

Deci, sunt 24 de multipli de 5*2 intre primele 100 de nr naturale nenule => produsul primelor 100 nr naturale nenule va fi de forma:  X·$10^{24}$ =>

10 la puterea 24 divide produsul primelor 100 de nr naturale nenule