Question

16 si 17 am nevoie de ajutor,dau coroana

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

16).

a)     1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶   cu  2⁷ - 1

1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ = ( 2⁶⁺¹ - 1 ) / ( 2 - 1) = 2⁷ - 1

->  aplic formula:  1 + k + k² + k³ + ...... + kⁿ = ( kⁿ⁺¹ - 1 ) / (k - 1)

=>   2⁷ - 1  =  2⁷ - 1

1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶  = 2⁷ - 1

____________________________________________

b)   2⁵⁸ cu 3³⁹ - 9¹⁹

3³⁹ - 9¹⁹ = 3³⁹ - ( 3²)¹⁹ = 3³⁹ - 3³⁸ = 3³⁸ x ( 3 - 1 ) = 3³⁸ x 2

2⁵⁸ = 2 x 2⁵⁷= 2 x (2³)¹⁹ = 2 x 8¹⁹

3³⁸ x 2 = ( 3²)¹⁹ x 2 = 9¹⁹ x 2

=>   2 x 8¹⁹  <   2 x 9¹⁹,  deoarece 8¹⁹ < 9¹⁹ ( 8 < 9 )

=>   2⁵⁸ <  3³⁹ - 9¹⁹

__________________________________________________

17)

a)

x = 2⁹⁶ + 2⁹⁸ + 2¹⁰⁰

x = 2⁹⁶ x ( 1 + 2² + 2⁴)

x = 2⁹⁶ x ( 1 + 4 + 16 )

x = 2⁹⁶ x 21

__________________

y = 2¹⁰¹ + 2⁹⁹ + 2⁹⁷

y = 2⁹⁷ x ( 2⁴ + 2² + 1 )

y = 2⁹⁷ x 21

=>  2⁹⁶ x 21 <   2⁹⁷ x 21, deoarece  2⁹⁶ < 2⁹⁷ ( 96 < 97)

=>   x < y

________________________________________________________

b)

x = 3⁵⁷ - 3⁵⁵  - 3⁵³

x = 3⁵³ x ( 3⁴ - 3² - 1)

x = 3⁵³ x ( 81 - 9 - 1 )

x = 3⁵³x 71

y = 5⁴³ - 125¹⁴

y = 5⁴³ - ( 5³)¹⁴

y = 5⁴³ - 5⁴²

y = 5⁴² x ( 5 - 1 )

y = 5⁴² x 4

_____________________

x = 3⁵³ x 71   cu  y = 5⁴² x 4

42 = 3 x 14

Pentru a obtine acelasi exponent, bazele fiind prime intre ele, maresc atat pe x, cat si pe y de 27 ori pentru a obtine un divizor comun al exponentilor

x = 3⁵³ x 3³ x 71    y  = 5⁴² x 4 x 27

x = 3⁵⁶ x 71      si   y = 5⁴² x 108

Observ ca cel mai mare divizor comun al exponentilor este 14:

56 = 4 x 14,  iar 42 = 3 x 14

________________________

x = 3⁴ˣ¹⁴ x 71    si   y = 5³ˣ¹⁴ x 108

x = (3⁴)¹⁴ x 71    si  y = (5³)¹⁴ x 108

x = 81¹⁴ x 71     si   y = 125¹⁴ x 108

Deduc din relatiile obtinute ca x < y,  pentru ca:  

81¹⁴ < 125¹⁴, deoarece 81 < 125,  dar  71 < 108

=>   3⁵³x 71 <  5⁴² x 4