Question

17. Arătaţi că numărul B=1+3¹ +3²+...+3^116 este divizibil cu 13. ​

Answer 1

Răspuns:

B este divizibil cu 13

Explicație pas cu pas:

observăm că:

${3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2} = 1 + 3 + 9 = 13$

suma are 117 de termeni, pe care îi putem grupa câte trei:

$B = 1 + {3}^{1} + {3}^{2} + ... + {3}^{116} = ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + ({3}^{3} + {3}^{4} + {3}^{5}) + ... + ({3}^{114} + {3}^{115} + {3}^{116}) = ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + {3}^{3} \cdot ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) + ... + {3}^{1114} \cdot ({3}^{0} + {3}^{1} + {3}^{2}) = 13 \cdot (1 + {3}^{3} + ... + {3}^{114} )\red{ \bf \ \vdots \ 13}$

=> numărul B este divizibil cu 13