Question

17) Arătați că numărul B=1+3¹+3²+...+3¹¹⁶ este divizibil cu 13.

18) Demonstrați că numărul A=63^n+7^n+1×3^2n+1-21^n×3^n+2, n€N, este divizibil cu 13.


VĂ ROG MULT, ESTE URGENT!!!​

Answer 1

Răspuns:

·

Explicație pas cu pas:

17) B=1+3¹+3²+...+3¹¹⁶.   Suma are 116-0+1=117 termeni. 117 divizibil cu 3, deci se pot forma sume de triplete consecutive..

B=(1+3¹+3²)+(3³+3⁴+3⁵)+...+(3¹¹⁴+3¹¹⁵+3¹¹⁶)=1·(1+3¹+3²)+3³·(1+3¹+3²)+...+3¹¹⁴·(1+3¹+3²)=(1+3¹+3²)·(1+3³+...+3¹¹⁴) =(1+3+9)·(1+3³+...+3¹¹⁴)=13·(1+3³+...+3¹¹⁴), deci B este divizibil cu 13.

18) A=63ⁿ+7ⁿ⁺¹·3²ⁿ⁺¹-21ⁿ·3ⁿ⁺²=63ⁿ+7ⁿ·7¹·(3²)ⁿ·3¹-21ⁿ·3ⁿ·3²=63ⁿ+(7·9)ⁿ·21-(21·3)ⁿ·9=63ⁿ·1+63ⁿ·21-63ⁿ·9=63ⁿ·(1+21-9)=63ⁿ·13.

Deci A este divizibil cu 13.