Question

17. Determinați numerele de forma: a) 8x; b) x23x; c) aa5b; d) ab7a , divizibile cu 9. Dau coroana și 5 stele vă rog este urgent!!​

Answer 1

Răspuns:

a) 81

b) 2232

c) 1152, 2250, 2259, 3357, 4455, 5553, 6651, 7758, 8856, 9954

d) 1071, 1971, 2772, 3573, 4374, 5175, 6876, 7677, 8478, 9279

Explicație pas cu pas:

Pentru ca un număr să fie divizibil cu 9 trebuie ca suma cifrelor sale să fie divizibilă cu 9.

În același timp, ținem seama de faptul că x, a și b sunt cifre, deci pot avea doar valori întregi între 0 și 9 inclusiv (dacă prima cifră este necunoscută, vom pune condiția să fie ≥ 1).

a) 9 | (8 + x)  si  0 ≤ x ≤ 9  ⇒ 8 + x = 9  ⇒  x = 1

  (urmatoarea sumă divizibilă cu 9 este 18, caz în care x = 10, ceea ce nu este o soluție validă)

 ⇒ numărul căutat este unul singur, și anume 81

b) 9 | (x + 2+ 3 + x)

   9 | (2x + 5)  și  1 ≤ x ≤ 9  ⇒  2x + 5 = 9  ⇒  x = 2

(următoarele sume divizibile cu 9 sunt 18 și 27, caz în care x ar fi 6,5, respectiv 11, ambele soluții invalide)

   ⇒ numărul căutat este unul singur, și anume 2232

c) 9 | (a + a + 5 + b)

   9 | (2a + b + 5 ) ;  1 ≤ a ≤ 9 ;  0 ≤ b ≤ 9  ⇒  

   ⇒  (2a + b + 5 ) ∈ {9, 18, 27}

cazul 1:

  2a + b + 5 = 9

  2a + b = 4

  avem două soluții posibile:

  2 × 1 + 2 = 4  ⇔  a = 1 ; b = 2

  2 × 2 + 0 = 4  ⇔  a = 2 ; b = 0

cazul 2:

  2a + b + 5 = 18

  2a + b = 13

  avem următoarele soluții posibile:

  2 × 2 + 9 = 13  ⇔  a = 2 ; b = 9

  2 × 3 + 7 = 13   ⇔  a = 3 ; b = 7

  2 × 4 + 5 = 13  ⇔  a = 4 ; b = 5

  2 × 5 + 3 = 13  ⇔  a = 5 ; b = 3

  2 × 6 + 1 = 13   ⇔  a = 6 ; b = 1

cazul 3:

  2a + b + 5 = 27

  2a + b = 22

  avem următoarele soluții posibile:

  2 × 7 + 8 = 22  ⇔  a = 7 ; b = 8

  2 × 8 + 6 = 22  ⇔  a = 8 ; b = 6

  2 × 9 + 4 = 22  ⇔  a = 9 ; b = 4

așadar, numerele căutate sunt:

1152, 2250, 2259, 3357, 4455, 5553, 6651, 7758, 8856, 9954

d) 9 | (a + b + 7 + a)

   9 | (2a + b + 7 ) ;  1 ≤ a ≤ 9 ;  0 ≤ b ≤ 9  ⇒  

   ⇒  (2a + b + 7 ) ∈ {9, 18, 27}

procedăm ca mai sus:

cazul 1:

  2a + b + 7 = 9

  2a + b = 2

  avem o solutie posibilă:

  2 × 1 + 0 = 2  ⇔  a = 1 ; b = 0

cazul 2:

  2a + b + 7 = 18

  2a + b = 11

  avem următoarele soluții posibile:

  2 × 1 + 9 = 11    ⇔  a = 1 ; b = 9

  2 × 2 + 7 = 11   ⇔  a = 2 ; b = 7

  2 × 3 + 5 = 11   ⇔  a = 3 ; b = 5

  2 × 4 + 3 = 11   ⇔  a = 4 ; b = 3

  2 × 5 + 1 = 11    ⇔  a = 5 ; b = 1

cazul 3:

  2a + b + 7 = 27

  2a + b = 20

  avem următoarele soluții posibile:

  2 × 6 + 8 = 20  ⇔  a = 6 ; b = 8  

  2 × 7 + 6 = 20  ⇔  a = 7 ; b = 6

  2 × 8 + 4 = 20  ⇔  a = 8 ; b = 4

  2 × 9 + 2 = 20  ⇔  a = 9 ; b = 2

așadar, numerele căutate sunt:

1071, 1971, 2772, 3573, 4374, 5175, 6876, 7677, 8478, 9279