Question

17. Să se determine numerele reale pozitive care verifică egalitatea: a + a2 +...+ a = (a₁ + a₂ + ... + an .+an),VneN.​

Answer 1

Răspuns:

Demonstrăm prin inducție:

Pentru $n=1$: $a_1^3=a_1^2\Rightarrow a_1^2(a_1-1)=0\Rightarrow a_1=1$.

Pentru $n=2$: $a_1^3+a_2^3=(a_1+a_2)^2\Rightarrow1+a_2^3=(1+a_2)^2=1+2a_2+a_2^2$

$a_2(a_2^2-a_2-2)=0\Rightarrow a_2=2$

Presupunem că $a_k=k, \forall k=1,2,....,n-1$

Pentru n:

$1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3+a_n^3=(1+2+\ldots+n-1+a_n)^2$

$\dfrac{(n-1)^2n^2}{4}+a_n^3=\left(\dfrac{(n-1)n}{2}+a_n\right)^2$

Făcând calculele se obține

$a_n^2-a_n-n(n-1)=0\Rightarrow a_n=n$

Deci $a_1=1, \ a_2=2, \ .... ,\ a_n=n$

Explicație pas cu pas: