Question

17. Suma a doua numere naturale este 26. Impartind pe primul la al doilea si apoi pe al doilea la primul, se obtine de fiecare data aceeasi suma intre cat si rest, aceasta fiind cu 8 mai mica decat unul dintre numere. Aflati cele doua numere.

18. a) Se considera numarul abcd despre care se stie ca cd = 2 x ab. Sa se determine restul impartirii acestui numar la 17.
b) Determinati numerele de forma abcd , stiind ca impartid abcd la bcd obtinem catul a + 1 si restul a + 2.
c) Daca abc + bc + c = 349 si a > b , determinati a, b si c.

19. a) Determinati perechile de numere naturale m si n care verifica, pe rand , urmatoarele relatii:
* m + n = (30 + 42 + 54 + ... + 630) : ( 10 + 14 + 48 + ... + 210)
* m - n = 11 -100 : { 28 +3 x [ ( 86 - 75 : 3+ 2) : 9 + 17 ]} si m \leq 16
b) Determinati numerele de forma abc ale caror cifre verifica relatiile:
* a - b - b = 4 si a - b - 2c = 2
* 2a - b - c = 10 si a + c - b = 9
c) Aflati numerele ab, bc, ca care verifica: ab + bc + ca = abc.

20. Fie a_{1}, a_{2}, a_{3} , ... a_{10} numere naturale care impartite la un numar n nenul dau resturi diferite doua cate doua si caturi nenule diferite doua cate doua.
a) Aratati ca n \geq 10 ;
b) Aflati S= a_{1} + ... + a _{10} , stiind ca S este minima.

Answer 1

17.  a + b = 26  daca, a >b      a = c·b + r1    b = 0·a + r2    r2 = b
c + r1 = r2 = a - 8    ⇒  b = a - 8
a + a - 8 = 26    2a = 34    a = 17    b = 9 
18. abcd = 100ab + cd = 100ab + 2ab = 102·ab = 17·6·ab  ÷ 17 = 6·ab    r = 0  
19.  m + n = 3(10 + 14 +.18+.....+210):(10 + 14 +.....+ 210) = 3
m - n = 11 - 100 : {28 + 3·24} = 11 - 1 = 10
b) a - b - c = 4    a - b - c - c = 2    4 - c = 2   c = 2    a - b = 6    ( a = 9   b = 3)
(a = 8    b  = 2)   (a = 7   b = 1)     (a = 6    b = 0)
abc ∈{  932, 822,712,602}   
2a - b - c = 10    a + a - b - c = 10
a - b + c = 9              a - b + c = 9
-------------------      ----------------------
3a - 2b = 19        a - 2c  = 1        a - b = 9 -c      c = 4    a = 9  b = 4  abc = 944
c)  ab +
     bc
     ca
--------
   abc      a + b = 10    a + b + c + 1 = 10a + b
10 + c + 1 = 10a + b
1(c+1) barat = ab barat    ⇒ a = 1    b = 9    c = 8    abc = 198  
20.  a1 = n·c1 + r1
       a2 = n·c2 + r2
----------------------------
       a10 = n·c10 + r10
r ∈ {0,1,2,....9}  ⇒   a10 = n·c10 + 9    9 < n ⇒  n ≥ 10 
b) S minim = 10·1 + (10·1 + 1) + (10·1 + 2) +........+ (10·1 + 9)
S = 10·10 + (1+ 2+ 3+......+9) = 100 + 45 = 145