Question

170. Se dă triunghiul ABC. Perpendicularele duse în vîrfurile B și C pe laturile AB respectiv AC se intersectează în D. Să se arate că bisectoarele unghiurilor BAC și BDC sunt paralele​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

notăm AG bisectoarea ∢BAC, G ∈ BC, QP bisectoarea ∢BDC, Q ∈ AB și P ∈ BC, AG ∩ BM = {J}

notăm ∢BAC = 2x => ∢MAJ = x

∢BDC = 2y => ∢BDP = ∢CDP = y

∢BDP ≡ ∢QDM = y (opuse la vârf)

ΔCMD ~ ΔCNA (dreptunghice, unghi comun)

=> ∢CDM = ∢CAN = 2x

D ∈ QP => ∢QDM + ∢CDM + ∢CDP = 180°

y + 2x + y = 180° => x + y = 90°

în ΔAMJ dreptunghic: x + ∢AJM = 90°

=> ∢AJM = y

∢QDM ≡ ∢AJM = y => QP || AG

=> bisectoarele unghiurilor BAC și BDC sunt paralele

q.e.d.