Question

18. Demonstrați că numărul a=6^n- 1 este multiplu de 5, pentru orice n € N​

Answer 1

n = 0 ⇒ a = 1 - 1 = 0

n = 1 ⇒ a = 6 - 1 = 5

n = 2 ⇒ a = 36 - 1 = 35

n = 3 ⇒ a = 216 - 1 = 215

n = 4 ⇒ a = 1296 - 1 = 1295

Se observa ca pentru orice valoare a lui n, numarul a va avea intotdeauna ultima cifra 0 sau 5.

Ultima cifra va fi zero doar in primul caz, deoarece orice numar la puterea zero este egal cu 1. Prin urmare, 6 la puterea zero este 1. Daca scadem 1, ramane zero.

In toate celelalte cazuri, ultima cifra este 5 deoarece ridicand numarul 6 la orice putere nenula, vom obtine intotdeauna un numar cu ultima cifra 6. Scazand 1, ne ramane 5.

Cunoastem criteriul de divizibilitate cu 5:

Un numar se divide cu 5 daca si numai daca are ultima cifra 0 sau 5.

Prin urmare, indiferent de valoarea lui n, numarul a va fi un multiplu de 5.

Rezolvarea in termeni matematici:

n = 0 ⇒ a = 1 - 1 = 0

n = 1 ⇒ a = 6 - 1 = 5

n = 2 ⇒ a = 36 - 1 = 35

n = 3 ⇒ a = 216 - 1 = 215

n = 4 ⇒ a = 1296 - 1 = 1295

......

n = K, K ∈ {N \ 0} ⇒ u(a) = u(6^K) - 1 = 6 - 1 = 5

X $\vdots$ 5 ⇔ u(X) ∈ {0,5}

⇒ a $\vdots$ 5, ∀ n ∈ N

⇒ a ∈ M₅

(q.e.d.)

Answer 2

$\it n=0 \Rightarrow a=1-1=0\in M_5\\ \\ n>0 \Rightarrow u(6^n)=6 \Rightarrow u(6^n-1)=6-1=5 \Rightarrow a\in M_5$