Question

18. Un paralelogram ABCD are vârfurile A(3; 5) şi B(5; -1), iar centrul paralelogramului este M(2; 1). Determinați: a) coordonatele vârfurilor C şi D; b) lungimea segmentului determinat de mijloacele laturilor [AB] şi [BC]; c) perimetrul paralelogramului.​

Answer 1

Răspuns:

a) C(1;-3); D(-1;3); b) √17; c) 4√5(1+√2)

Explicație pas cu pas:

A(3; 5), B(5; -1), M(2; 1)

a) C este simetricul lui A față de M

$\frac{3 + x}{2} = 2 = > 3 + x = 4 = > x = 1 \\ \frac{5 + y}{2} = 1 = > 5 + y = 2 = > y = - 3\\ = > C(1; - 3)$

D este simetricul lui B față de M

$\frac{5 + x}{2} = 2 = > 5 + x = 4 = > x = - 1 \\ \frac{ - 1 + y}{2} = 1 = > - 1 + y = 2 = > y = 3 \\ = > D( - 1; 3)$

b) mijlocul segmentului [AB]:

$( \frac{3 + 5}{2} ; \frac{5 - 1}{2} ) < = > ( \frac{8}{2} ; \frac{4}{2} ) = > (4;2)$

mijlocul segmentului [BC]:

$( \frac{1 + 5}{2} ; \frac{ - 3 - 1}{2} ) < = > ( \frac{6}{2} ; \frac{ - 4}{2} ) = > (3 ; - 2)$

lungimea segmentului determinat de mijloacele laturilor [AB] şi [BC]:

$\sqrt{ {(4 - 3)}^{2} + {(2 - ( - 2))}^{2} } = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

c) lungimea segmentului [AB]:

$AB = \sqrt{ {(3 - 5)}^{2} + {(5 - ( -1 ))}^{2} } = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

lungimea segmentului [BC]:

$BC = \sqrt{ {(5 - 1)}^{2} + {( - 1 - ( - 3))}^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$

perimetrul:

$perimetrul(ABCD) = 2 \times (AB + BC) = 2(2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{5}) = 4 \sqrt{5}(1 + \sqrt{2})$