Question

18 Un tetraedru regulat ABCD are volumul egal cu 144/2 cm. Punctele M, N şi P sunt mijloacele AB,
AC și respectiv AD.
a Arătaţi că tetraedrul AMNP este regulat.
b Calculați volumul tetraedrului AMNP.
c Calculaţi aria totală a tetraedrului ABCD.

Answer 1

a.

M, mijlocul lui AB

N mijlocul lui AC⇒ MN linie mijlocie in ΔABC⇒ MN║BC

P mijlocul lui AD⇒ NP linie mijlocie in ΔADC⇒ NP║DC

MP linie mijlocie in ΔABD⇒MP║BD

$MN=\frac{BC}{2} \\\\MP=\frac{BD}{2} \\\\NP=\frac{DC}{2}$

• De aici rezulta ca MN=MP=NP

Deci planul (MNP)║ (ABC)

• ⇒AMNP tetraedru regulat

b. Volum AMNP=Volum ABCD:2= 144√2:2=72√2cm³

   Volum ABCD=144√2cm

c.

$V=\frac{l^3\sqrt{2} }{12} =144\sqrt{2} \\\\l^3=12\times144\\\\l=12cm$

$A_t=l^2\sqrt{3} =144\sqrt{3} cm^2$