Question

19 a Determinați numerele naturale n pentru care există un triunghi cu laturile de lungimi egale cu 17, 29 şi 4n+ 1. b Arătaţi că există un unic triunghi cu laturile de lungimi egale cu 7, 24 și 8n + 1, unde n € N, iar acest triunghi este dreptunghic. Indicație. Numerele reale pozitive a, b, c pot fi laturile unui triunghi dacă au loc simultan inegalitățile a < b + c, b repede va rog​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$4n + 1 < 17 + 29$

$4n < 45 \iff n < \dfrac{45}{4} = 11 \dfrac{1}{4} \\ \implies n \leqslant 11$

$29 < 17 + 4n + 1$

$4n > 11 \iff n > \dfrac{11}{4} = 2 \dfrac{3}{4} \\ \implies n \geqslant 3$

$17 < 29 + 4n + 1 \iff 4n + 30 > 17 \\ \implies n \in \mathbb{N}$

din cele trei condiții => numerele naturale n pentru care există un triunghi cu laturile de lungimi egale cu 17, 29 şi 4n+ 1 sunt:

$3 \leqslant n \leqslant 11 \iff \\ \bf n \in \Big\{ 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11\Big\}$

b)

$7 < 24 + 8n + 1 \iff 8n + 25 > 7 \\ \implies n \in \mathbb{N}$

$24 < 7 + 8n + 1 \iff 8n > 16 \iff 4n > 8 \\ \iff n > 2 \implies n \geqslant 3$

$8n + 1 < 7 + 24 \iff 8n < 30 \iff 4n < 15 \\ \iff n < \frac{15}{4} = 3 \dfrac{3}{4} \implies n \leqslant 3$

$\implies \bf n = 3$

=> există un unic triunghi cu laturile de lungimi egale cu 7, 24 și 8n + 1, unde n ∈ N

8n + 1 = 8×3 + 1 = 25

▪︎ laturile sunt: 7, 24 și 25

7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²

conform T.Pitagora => triunghiul este dreptunghic

q.e.d.