Question

(1p) 5 Arătaţi că nu există numere naturale care împărțite la 14 să dea restul 8 și împărțite la 16 să dea restul 7.
​

Answer 1

Se aplica teoria impartirii cu rest

a : 14 = c₁ rest 8 => a = 14c₁ + 8

a : 16 = c₂ rest 7 => a = 16c₂ + 7

Adunam ambele relatii si ne va da:

2a = 14c₁ + 16c₂ + 15

Impartim relatia toata la 2:

a = 7c₁ + 8c₂ + 7,5

Deoarece deimpartitul (a) are in formula aflata 7,5, inseamna ca nu se respecta conditia => a trebuia sa fie numar natural

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Sa presupunem prin absurd ca ar exista n ∈ N, oarecare, care impartit la 14 să dea restul 8 și împărțite la 16 să dea restul 7.

 Atunci conform teoremei impartirii cu rest am avea:

n = 14a + 8 si

n = 8b + 7, cu a si b, caturile impartirilor, numere naturale si ele.

 Adunand cele doua relatii obtinem:

2n = 14a + 8b + 15 I :2

n = 7a + 4b + 7,5 ∈ Q - N, din cauza ca 7,5 nu este natural.

 Deci presupunerea facuta prin absurd este falsa, adica nu exista nici un  n natural care sa satisfaca in mod simultan cele doua conditii.

QED.