2 1. Se consideră funcția f :R->R, f (x) = V(x²+x+1) -x.
a) demonstreaza ca Vx²+x+1>x+ 1/2, pentru orice numar real
b) Aratati ca, pentru orice m E (1/2, +inf), f(x) =m soluție unică
**V=radical
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
a)√(x²+x+1)>x+1/2
Ridici la patrat
x²+x+1>x²+x+1/4
1>1/4 Adevarat
Deci egalitatea e adevarata pt orice x
b) notezi g(x)=f(x)-m
g(x)=√(x²+x+1)-x-m
g `(x)=2x/2√(x²+x+1)-1=
x/√(x²+x+1)-1
Analizezi fractia si constati ca e subunitara=>
x/√(x²+x+1)-1<0 ∀x=> g `(x)<0
Sirul lui Roll
Pentru aceasta calculezi limitele la ±∞
Pt x->-∞ se observa usor ca limita este +∞
Pt x->+∞ consideri g(x) o fractie cu numitorul 1 si amplifici cu conjugata
g(x)=(√(x²+x+1-x²)/(√x²+x+1)+m=[(x+1)/(√(x²+x+1)+x)+m
Trecand la limita obtii limg(x)=1/2+m
Revin imediat
x l -∞ 0 +∞
----------------------------------------------------
ml m+1/2
------------------------------------------------------
m<-1/2l +∞ + + +++++++ functia g(x) este strict pozitiva .N-ai achimbare de semn , n-ai radacina
m≥1/2l+ + 0 - - - -
Pt m≥1/2 ai schimare de semn inte x=-1/2 si +∞.inseamna ca pe acest interval ecuatia g(x)-m =, are solutie unica
Dar g(x)=f(x)-m=>
Ecuatia f(x) =m are solutie unica pt m≥1/2
Explicație pas cu pas: