Question

2 1. Se consideră funcția f :R->R, f (x) = V(x²+x+1) -x.
a) demonstreaza ca Vx²+x+1>x+ 1/2, pentru orice numar real
b) Aratati ca, pentru orice m E (1/2, +inf), f(x) =m soluție unică

**V=radical ​

Answer 1

Răspuns:

a)√(x²+x+1)>x+1/2

Ridici la patrat

x²+x+1>x²+x+1/4

1>1/4 Adevarat

Deci egalitatea e adevarata pt orice x

b) notezi g(x)=f(x)-m

g(x)=√(x²+x+1)-x-m

g `(x)=2x/2√(x²+x+1)-1=

x/√(x²+x+1)-1

Analizezi fractia si constati ca e subunitara=>

x/√(x²+x+1)-1<0 ∀x=> g `(x)<0

Sirul lui Roll

Pentru aceasta calculezi limitele la ±∞

Pt x->-∞ se observa usor ca limita este +∞

Pt x->+∞ consideri g(x) o fractie cu numitorul 1 si amplifici cu conjugata

g(x)=(√(x²+x+1-x²)/(√x²+x+1)+m=[(x+1)/(√(x²+x+1)+x)+m

Trecand la limita obtii limg(x)=1/2+m

Revin imediat

x l -∞ 0 +∞

----------------------------------------------------

ml m+1/2

------------------------------------------------------

m<-1/2l +∞ + + +++++++ functia g(x) este strict pozitiva .N-ai achimbare de semn , n-ai radacina

m≥1/2l+ + 0 - - - -
Pt m≥1/2 ai schimare de semn inte x=-1/2 si +∞.inseamna ca pe acest interval ecuatia g(x)-m =, are solutie unica

Dar g(x)=f(x)-m=>

Ecuatia f(x) =m are solutie unica pt m≥1/2

Explicație pas cu pas: