Question

2+2^2+2^3+...+2^48 divide 3​

Answer 1

Este imposibil ca suma dată să dividă pe 3.

Dar vom demonstra că suma este divizibilă cu 3.

Încercăm să scriem suma într-un mod mai simplu, folosind un artificiu:

S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴⁸ = 2S - S

2S = 2 · (2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴⁸) = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁴⁸ + 2⁴⁹

S = 2S - S = (2² + 2³ + ... + 2⁴⁸ + 2⁴⁹) - (2 + 2² + 2³ + ... + 2⁴⁸)

S = 2⁴⁹ - 2 = 2 · (2⁴⁸ - 1)

Folosim formula a² - b² = (a - b) (a + b)

2⁴⁸ - 1 = (2²⁴)² - 1² = (2²⁴ - 1) · (2²⁴ + 1)

vom aplica succesiv această formulă:

S = 2 · (2⁴⁸ - 1) = 2 · (2²⁴ - 1) · (2²⁴ + 1) =

= 2 · (2¹² - 1) · (2¹² + 1) · (2²⁴ + 1) =

= 2 · (2⁶ - 1) · (2⁶ + 1) · (2¹² + 1) · (2²⁴ + 1) =

= 2 · (2³ - 1) · (2³ + 1) · (2⁶ + 1) · (2¹² + 1) · (2²⁴ + 1)

considermă paranteza (2³ + 1)

2³ + 1 = 8 + 1 = 9, care este divizibil cu 3

Deci S este un produs de mai mulți factori, dintre care unul este divizibil cu 3.

⇒ S este divizibilă cu 3