Question

2 25. În figura 3, dreptele MN și MP sunt tangente la cerc. Arătaţi că: unghiul PMN este egal cu arcul NRP-NQP supra 2

Answer 1

Explicație pas cu pas:

O este centrul cercului

m(∢NOP) = m(arc NQP)

ON⊥MN și OP⊥MP

=> m(∢ONM) = m(∢OPN) = 90°

în patrulaterul convex MNOP:

${ \bf m(\measuredangle NMP)} = 180° - m(\measuredangle NOP) =$

$= \dfrac{m(arc NRP) + m(arc NQP)}{2} - m(∢NQP)$

$= \dfrac{m(arc NRP) + m(arc NQP) - 2 \cdot m(∢NQP)}{2}$

$= \bf \dfrac{m(arc NRP) - m(arc NQP)}{2}$

$q.e.d.$

Answer 2

Folosim sensul trigonometric de parcurgere a cercului.

În patrulaterul MNOP avem :

$\it \widehat M+\widehat{NOP} =180^o \Rightarrow \widehat M+m(\stackrel\frown{PN})=180^o \Rightarrow \widehat M=\dfrac{360^o}{2}-\ ^{2)}m(\stackrel\frown{PN}) \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \widehat M=\dfrac{360^o-2m(\stackrel\frown{PN})}{2}=\dfrac{m(\stackrel\frown{NP})+m(\stackrel\frown{PN})-2m(\stackrel\frown{PN})}{2}=\dfrac{m(\stackrel\frown{NP})-m(\stackrel\frown{PN})}{2}$