Question

2. Aratati ca E(x)=(x²+x+1)²-(x²+x)²-x² este patrat perfect, oricare ar fi x nr.natural.
​

Answer 1

E(x) = (x^2 + x + 1)^2 - (x^2 + x)^2 - x^2

Formula de calcul prescurtat pentru (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

Atunci (x^2 + x × 1)^2 = x^4 + x^2 + 1 + 2x^3 + 2x^2 + 2x = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1

Formula de calcul prescurtat pentru (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Atunci (x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2

E(x) devine:

E(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 - (x^4 + 2x^3 + x^2) - x^2 =

= x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 - x^4 - 2x^3 - x^2 - x^2 =

= x^2 + 2x + 1 =

= (x + 1)^2, deci expresia E(x) este un pătrat perfect, oricare ar fi x numar natural