Question

2. Fie ABCDA'B'C'D' o prismă patrulateră regulată în care AB = 24 cm, iar măsura unghiului dintre dreapta AC' şi planul (BCC) este egală cu 30°. a) Aflaţi distanţa de la punctul D' la dreapta AC. b) Determinaţi distanta de la punctul D la planul (ACD').​

Answer 1

Răspuns:

Ai mai jos explicatia, am incercat sa iti raspuns într-un mod cat mai frumos

Explicație pas cu pas:

a) Pentru a afla distanţa de la punctul D' la dreapta AC, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AD'C'. Astfel, avem:

$AD' = AC' \tan 45° = \frac{AB}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$ cm

$D'C' = \frac{AB}{2} = 12$ cm

$D'A = \sqrt{AD'^2 - D'C'^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 - 12^2} = 12\sqrt{3}$ cm

Prin urmare, distanţa de la punctul D' la dreapta AC este $D'A = 12\sqrt{3}$ cm.

b) Pentru a determina distanţa de la punctul D la planul (ACD'), putem folosi formula distanţei de la un punct la un plan. Astfel, avem:

$d(D, (ACD')) = \frac{|AD \cdot AC' \cdot DD'|}{\sqrt{(AD)^2 \cdot (AC')^2 + (AD \cdot AC' \cdot \cos \angle ACD')^2}}$

Deoarece prismele regulate au toate feţele laterale identice, avem $AD = AD'$ şi $AC = AC'$. De asemenea, putem observa că $\angle ACD' = 90°$, deoarece planul (ACD') este perpendicular pe planul (ABCD). Astfel, formula devine:

$d(D, (ACD')) = \frac{|AD^2 \cdot AC \cdot DD'|}{\sqrt{(AD)^2 \cdot (AC)^2}} = |AD \cdot DD'|$

Pentru a afla distanţa $DD'$, putem folosi teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AD'D. Astfel, avem:

$AD' = 12\sqrt{2}$ cm (calculat anterior)

$DD' = AD' \tan 30° = 6\sqrt{6}$ cm

Prin urmare, distanţa de la punctul D la planul (ACD') este $d(D, (ACD')) = |AD \cdot DD'| = 12\sqrt{6}$ cm.