Question

2. In Δ ABC, m ( unghiul BAC )= 90° si m ( unghiul ABC ) = 60°. Bisectoarea interioara a ungiului BAC intersecteaza dreapta BC in D, iar bisectoarea exterioara a unghiului BAC intersecteaza dreapta BC in punctul E.
a) Aflati masura unghiului ADB;
b) Aratati ca dreptele AD si AE sunt perpendiculare;
c) Bisectoarea interioara a unghiului ACB intersecteaza dreapta AE in punctul F . Aratati ca Δ FCE este isoscel.

Answer 1

intai sa fim ceva mai rigurosi la desen
triunghiul ABC este dreptunghic in A si cu ipotenuza BC, ∡C=90-60=30°
prin urmare punctul E se afla la stanga lui B pe prelungirea ipotenuzei CB   E,B,C sunt coliniare in aceasta ordine.
∡BAD=∡DAC=45° (AD bisectoarea unghiului A)
in tr.BAD, ∡ABD=60° (ipoteza)

a)   ∡ADB=180-60-45=75°

b) s-a invatat la scoala ca unghiul format dintre bisectoarea interioara si ce-a exterioara a unui triunghi este de 90°
asta se demonstreaza f. usor notand x si y unghiurile formate de cele 2 bisectoare cu laturile corespunzatoare ale triunghiului
in cazul tau
∡BAD=∡DAC=x
∡BAE=∡EAG=y, G se afla pe prelungirea CA, si l-am ales in mod special ca sa pun in evidenta cele 2 unghiuri egale determinate de bisectoarea exterioara, (G,A,C sunt coliniare in aceasta ordine)
x+x+y+y=180
x+y=90 unde x+y=∡EAD, adica unghiul format de bis. interioara si cea exterioara
in cazul tr. dreptunghic se observa ca x=y=45° ⇒ x+y=90° si prin urmare
AD⊥AE
am facut demonstratia pe caz general pentru ca sigur iti va fi de folos cu alta ocazie

c) am gasit ca ∡ADB=75° si ∡EAD=90° prin urmare
∡AED=90-75=15°
pe de alta parte
∡ACB=90-60=30° ⇒ ∡FCE=∡ACB/2=15°
din ultimele 2 relatii rezulta ca triunghiul EFC este isoscel (are 2 unghiuri congruente de 15°)
ne mai scriem daca sunt necazuri