Question

2. În Figura 3 este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC cu m(<BAC)=90°, AB = 30cm şi
AC = 40 cm. Dreapta AM este perpendiculară pe planul (ABC), punctul D este proiecția
punctului M pe dreapta BC și MD = 26 cm.

a) Arătaţi că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 120 cm.
b) Demonstrați că AM = 10 cm.
pc) Calculați distanta de la punctul N , mijlocul segmentului MC, la dreapta AD.​

Answer 1

a)

• ΔABC dr. in ∡BAC ⇒ cu T.P. ca BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2} }$ = $\sqrt{900+1600}$ = $\sqrt{2500}$ = 50.

• $P_{ABC}$ = 30 + 40 + 50 = 120 cm

b)

• Aplicam Teorema celor 3 perpendiculare

MA ⊥ (ABC)

MD ⊥ BC               ⇒     AD⊥BC si ΔABC dr. ⇒  AD = inaltime in ΔABC dr.

BC, AD ⊂ (ABC)  

(FORMULA INALTIMII INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC ESTE  $\frac{C1*C2}{IP}$.)

Deci AD = $\frac{AB*AC}{BC}$ = $\frac{30*40}{50}$ = 24 cm.

• MA⊥ (ABC)

      AD⊂(ABC)  ⇒ MA⊥AD ⇒ ΔMAD dr. in ∡MAD ⇒ MA = $\sqrt{26^{2}-24^{2} }$ = $\sqrt{676-576}$ = $\sqrt{100}$ = 10 cm.

c)

• MA ⊥ (ABC)

      AC ⊂ (ABC)   ⇒ MA ⊥ AC ⇒ ΔMAC dr in ∡MAC ⇒ MC = $\sqrt{10^{2} + 40^{2} }$ = $\sqrt{100+1600}$ = $\sqrt{1700}$ = $10\sqrt{17}$ cm.

• N = mijlocul lui MC ⇒ AN = mediana in ΔMAC dr.

(MEDIANA INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC ARE O FORMULA ATUNCI CAND ACEASTA PICA PE IPOTENUZA, MEDIANA DEVENIND JUMATATE DIN IPOTENUZA.)

AN = $\frac{MC}{2}$ = $5\sqrt{7}$ cm.

• N = mijlocul lui MC ⇒ DC = mediana in ΔMDC dr. ⇒ DC = $\frac{MC}{2}$ = $5\sqrt{7}$ cm.

• AN = DC = $5\sqrt{7}$ ⇒ ΔAND isoscel.
• Construim NE ⊥ AD ⇒ d(N;AD) = NE ⇒ NE = inaltime si mediana in ΔAND isoscel. ⇒ ED = AE = $\frac{AD}{2}$ = 12 cm.

• In ΔNED dr. in ∡NED ⇒ NE = $\sqrt{ND^{2} - ED^{2} }$ = $\sqrt{1600-144}$ = $\sqrt{1456}$ = $4\sqrt{91}$ cm. ⇒ d(N;AD) = $4\sqrt{91}$