Question

2. În Figura 3 este reprezentat un cub
ABCDA B C D ' ' ' '
cu
AB  4cm
. Punctele
M
și
N
sunt
situate pe laturile
AB
și
BC
astfel încât
AM  3cm
și
BN  3cm
, iar
E
este punctul de
intersecție a dreptelor
AN
și
DM .
Figura 3
5p a) Arătați că aria patrulaterului
ABCD
este egală cu
2
16cm .
5p b) Arătați că distanța de la punctul
A'
la dreapta
DM
este egală cu
4 34
cm
5
.
5p c) Determinați sinusul unghiului dintre dreapta
AD
și planul
 ANA'.

Answer 1

Răspuns:

a) Aabcd=Ab²

Aabcd=4²⇒Aabcd=16 cm²

b) DA≡AB

                  ⇒conform cazului CC ca ΔDAM≡ΔANB⇒∡DMA≡∡ANB

   NB≡AM .                    ⇒∡ADM≡∡NAB

  m(∡ADM)+m(∡AMD)=90°

  m(∡ADM)+m(∡ANB)=90°

  m(∡NAB)+m(∡DMA)=90°

 ΔAEM

m(∡E)+m(A)+m(M)=180°

m(E)=90°(deoarece am inlocuit  m(∡NAB)+m(∡DMA)=90° cu masura unghiului A si M

AA'⊥(ADM)

AE⊥DM .                                     ⇒A'E⊥DM⇒d(A',DM)=A'E

AE,DM incluse in planul ADM

AE=AD×AM/DM⇒AE=12/5

ΔAA'E

A'E²=AA'²+AE²

A'E²=16+144/25⇒A'E=√544/25⇒A'E=4√34/5⇒d(A',DM)=4√34/5

c)

sin(AD, (AA'N)=sin(AD,AN)=sin(DAN)

ΔDAE

DE²=AD²-AE²

DE²=16-144/25⇒DE²=400-144/25⇒DE=√256/25⇒DE=16/5

sin(DAE)=DE/AD

sin(DAE)=16/5/4⇒sin(DAE)=16/5×4⇒sin(DAE)=4/5⇒sin(AD,(AA'N)=4/5

Explicație pas cu pas: