Question

2.
În triunghiul ABC, m(BAC)= 60°, m( ABC)= 30° și AC = 12 cm.
a) Să se calculeze lungimea segmentului BC.
b) Să se calculeze d(C, AB).
c) Să se determine aria triunghiului ABC.
​

Answer 1

Baftă!!

-----------------------

Answer 2

Salut!

* * * *

  Ipoteză:     ΔABC, m(∡BAC)=60°

                                 m(∡ABC)=30°

                    AC=12 cm

______________________________________________

Concluzie:      a) BC=?

                       b) d(C, AB)=?

                       c) AΔABC=?

______________________________________________

Demonstrație: a) m(∡ACB)=180°-60°-30°=90°

tg(∡ABC)=$\frac{AC}{BC}$

tg30°=$\frac{AC}{BC}$

$\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{AC}{BC}=>BC=\frac{3AC}{\sqrt{3} } \\ \\ BC=\frac{3*12}{\sqrt{3}}~cm\\\\ BC=\frac{36\sqrt{3}}{3}~cm\\\\ BC=12\sqrt{3}~cm$

                          b) Fie CD⊥AB, D∈(AB).

d(C, AB)=CD și citim distanța de la C la AB este CD, adică înălțimea CD.

În ΔCDA, m(∡D)=90°:

sin(∡CAD)=$\frac{CD}{AC}$

sin 60°=$\frac{CD}{AC}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{CD}{AC}=>CD=\frac{AC\sqrt{3}}{2}\\\\ CD=\frac{12\sqrt{3}}{2}~cm\\\\ CD=6\sqrt{3}~cm$

                        c) AΔABC=$\frac{c_{1}*c_{2}}{2}=\frac{BC*AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}~cm*12~cm}{2}=72\sqrt{3}~cm^{2}$

sau

În ΔBCA, m(∡C)=90° din T.∡30=>$AC=\frac{AB}{2}=>AB=2AC=2*12~cm=24~cm$

   AB=2AC

   AB=2*12 cm

   AB=24 cm

AB mai poate fi calculată și aplicând teorema lui Pitagora.

În ΔBCA, m(∡C)=90° din T. Pitagora=>AB²=AC²+BC

                                                              AB=√(AC²+BC²)

                                                              AB=√(432+144) cm

                                                              AB=√576 cm

                                                              AB=24 cm

AΔABC=$\frac{b*h}{2}=\frac{AB*CD}{2}=\frac{24~cm*6\sqrt{3}~cm}{2}=72\sqrt{3}~cm^{2}$

* * * *

Observații:

1. sin=cateta opusă/ipotenuză

 cos=cateta alăturată/ipotenuză

 tg=sin/cos=cateta opusă/cateta alăturată

 ctg=(sin/cos)^(-1)=cos/sin=cateta alăturată/cateta opusă

tg 30°=sin 30°/cos 30°=(1/2):(√3/2)=1/2*2/(√3)=1/√3=√3/3

2. Teorema ∡30: Într-un Δ dreptunghic cu un ∡ de 30°, cateta ce se opune ∡ de 30° este 1/2 din ipotenuză.

Am anexat figura.