Question

2.In triunghiul ABC se stie ca m(<A)=75,m(<C)= 60,AB=4√2 cm si N este proiectia ortogonala a lui A pe BC. Calculeaza lungimile AN,AC si BC.

Answer 1

Am atasat desenul.

Cum suma unghiurilor intr-un triunghi este 180 grade rezulta ca in ΔABC avem:
m(<B)=180-m(<A)-m(<C)=180-75-60=45 grade

In ΔANC dreptunghic in N avem m(C)=60 grade, deci m(<CAN)=180-90-60=90-60=30 grade si deci cateta care se opune unghiului de 30 grade este jumatate din ipotenuza, adica daca notam nc=a atunci AC=2a.

Dar m(<BAC)=75 grade=m(<BAN)+m(<NAC)=m(<BAN)+30 deci:
m(<BAN)=75-30=45 grade

In ΔBAN dreptunghic in N avem m(<BAN)=m(<ABN)=45 grade, deci ΔBAN este dreptunghic isoscel, cu BN=AN si aplicam Teorema lui Pitagora:

$AB^{2} = BN^{2} + AN^{2}$ adica:

16*2=2*$BN^{2}$ deci:

BN=AN=4 cm

Aplicam Teorema lui Pitagora in ΔANC:

$AC^{2} = AN^{2} + NC^{2}$ adica:

$4* a^{2} =16 + a^{2}$

$3* a^{2} =16$

a=$\frac{4}{ \sqrt{3} }$ deci:

NC=a=$\frac{4 \sqrt{3} }{3}$ cm

AC=2*NC=$\frac{8 \sqrt{3} }{3}$ cm

BC=BN+NC=4+$\frac{4 \sqrt{3} }{3}$ cm