Question

2.Pe mulțimea D se consideră legile de compoziție xy = ax + by-1 și
xly=2xy - 2x - 2y + c.
a) Să se determine a, b e R pentru care (R, .) este grup abelian.
b) Să se determine a, b, c e R pentru care (R. ) este grup abelian și
(xoy) lz=(x1 z) o (y lz),
c) în condițiile găsite la b),
monoidul (1)
x, y, ze R.

Answer 1

Răspuns:

a) Legea trebuie să fie comutativă:

$x\circ y=y\circ x, \ \forall x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow ax+by-1=ay+bx-1\Rightarrow\\\Rightarrow(x-y)(a-b)=0, \ \forall x,y\in\mathbb{R}\Rightarrow a=b$

Atunci legea se scrie $x\circ y=ax+ay-1$

Legea trebuie să fie și asociativă. Calculăm cei doi membri ai relației de asociativitate:

$(x\circ y)\circ z=(ax+ay-1)\circ z=a^2x+a^2y-a+az-1\\x\circ(y\circ z)=ax+a^2y+a^2z-a-1$

Egalând rezultatele rezultă

$(x-z)(a^2-a)=0, \ \forall x,z\in\mathbb{R}\Rightarrow a^2-a=0\Rightarrow a=0 \ \text{sau} \ a=1$

Pentru $a=0$ legea nu ar avea element neutru, deci $a=1\Rightarrow b=1$.

Atunci legea este $x\circ y=x+y-1$. Elementul neutru ;i elementele simetrizabile se calculează ușor.

b) Calculând cei doi membri ai relației și egalându-i se obține

$2=c-1\Rightarrow c=3\Rightarrow x\perp y=2xy-2x-2y+3$

c) Fie $e$ elementul neutru.

$x\perp e=x\Rightarrow 2xe-2x-2e+3=x\Rightarrow (x-1)(2e-3)=0\Rightarrow e=\dfrac{3}{2}$

Legea fiind comutativă (e ușor de arătat) rezultă și $e\perp x=x$.

Fie $x'$ simetricul lui $x$

$x\perp x'=e\Rightarrow 2xx'-2x-2x'+3=\dfrac{3}{2}\Rightarrow x'=\dfrac{4x-3}{4x-4}, \ \forall x\ne 1$

Explicație pas cu pas: