Question

2. Pe mulţimea M = (0,+) se defineşte legea de compoziție asociativă x*y= a) Arătați că 1*1 = 2. Teorie b) Calculați ((1*2)*3)−(1*(2*3)). Determinați numerele reale xe M pentru care x*x=2. 3xy +1 x + y​

Answer 1

$\it x*y=\dfrac{3xy+1}{x+y}\\ \\ \\ a)\ \ 1*1=\dfrac{3\cdot1\cdot1+1}{1+1}=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\ \\ \\ b)\ \ Legea\ de\ compozi\c{\it t}ie\ este\ asociativ\breve a, deci:\\ \\ (1*2)*3=1*(2*3)\ \Rightarrow (1*2)*3-1*(2*3)=0$

$\it c)\ \ x*x=\dfrac{3\cdot x\cdot x+1}{x+x}=2 \Rightarrow \dfrac{3x^2+1}{2x}=2 \Rightarrow 3x^2+1=4x \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow 3x^2-4x+1=0 \Rightarrow 3x^2-3x-x+1=0 \Rightarrow 3x(x-1)-(x-1)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (x-1)(3x-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} \it 3x-1=0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x_1=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ \it x-1=0 \Rightarrow x_2=1\end{cases}$