2. Prin desfăşurarea în plan a suptafeței laterale a unui con circular drept cu vârful în V şi înălţimea de 4✓2 cm se obține un sector de disc cu u = 120°. Dacă AB este un diametru al bazei, atunci lungimea celui mai scurt drum de la punctul A la generatoarea VB pe suprafaţa laterală a conului este egală cu: B. 3✓3 cm; C. 2/6 cm; D. 8 cm. A. 6 cm;
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
răspuns corect b) 3√3
Explicație pas cu pas:
într-un con, lungimea cercului de la bază este L = 2πR, unde R este rază bazei conului
⇒ pe circumferința bazei, distanța între punctele diametral opuse A și B este L / 2 = πR
Calculăm aria laterală a conului după două formule:
1) formula pentru aria laterală a conului
A = πRG, unde R este raza bazei conului și G este generatoarea conului
2) formula pentru aria sectorului de disc
A = πR² · 120° / 360° = πR² / 3
aici R este raza sectorului de disc, adică generatoarea conului
⇒ A = πG² / 3
egalăm cele două formule, pentru că este vorba despre aceeași suprafață:
πRG = πG² / 3
⇒ R = G / 3
În con, VO ⊥ AB și aplicăm Pitagora în ΔVOB pentru a afla lungimea generatoarei:
G² = (4√2)² + (G/3)²
G² = 32 + G² / 9
8G² = 32 · 9
G² = 4 · 9
G = 2 · 3 = 6 (cm)
Revenim la suprafața desfășurată a conului.
Avem arcul AB = πR = L / 2 = arcul AA' / 2
cum arcul AA' = 120° ⇒ arcul AB = 60°
⇒ ΔAVB este echilateral
⇒ distanța căutată este înălțimea în triunghiul echilateral VAB
h = l√3 / 2 = G√3 / 2 = 6√3 / 2 = 3√3
