Question

2. Se consideră expresia E(x) = 2(x + 3)² - (x - 1)² - 5(2x + 3), unde x = R.
a) Arată că E(x) = x² + 4x + 2, pentru orice număr real x.
b) Determină valoarea lui x pentru care E(x) are cea mai mică valoare posibilă.

Answer 1

Răspuns:

a) Pentru a arăta că E(x) = x² + 4x + 2 pentru orice număr real x, vom începe prin a efectua simplificările în expresie:

E(x) = 2(x + 3)² - (x - 1)² - 5(2x + 3)

= 2(x² + 6x + 9) - (x² - 2x + 1) - 10x - 15

= 2x² + 12x + 18 - x² + 2x - 1 - 10x - 15

= x² + 4x + 2

Așadar, am dovedit că E(x) = x² + 4x + 2 pentru orice număr real x.

b) Pentru a găsi valoarea lui x pentru care E(x) are cea mai mică valoare posibilă, vom începe prin a determina punctele de extrema ale funcției:

dE(x)/dx = 2x + 4 = 0

x = -2

Acesta este singurul punct de extrema, iar funcția E(x) este crescătoare pentru x < -2 și descrescătoare pentru x > -2. Deci, pentru x = -2, E(x) are cea mai mică valoare posibilă