Question

2. Se consideră expresia E(x) = (2x − 1)² + (1 - x√3)(x√3+1)+2, unde x € R. a) Arată că E(x) = (x - 2)², pentru orice număr real x. b) Găseşte valorile naturale ale lui t pentru care E(√√3) + t√√3 este număr natural.​

Answer 1

$a) \: (2x - 1) {}^{2} + (1 - x \sqrt{3} )(x \sqrt{3} + 1) + 2 \\ = 4x {}^{2} - 4x + 1 + 1 {}^{2} - (x \sqrt{3}) {}^{2} + 2 \\ = 4x - 4x + 1 + 1 - 3x {}^{2} + 2 \\ = x {}^{2} - 4x + 4 \\ = x {}^{2} - 2 \times x \times 2 + 2 {}^{2} \\ = (x - 2) {}^{2} \\ \\ b) \: ( \sqrt{3} - 2) {}^{2} + t \sqrt{3} \in\mathbb{N} \\ = 7 - 4 \sqrt{3} + t \sqrt{3} \\ \text{ca \: sa \: fie \: natural \: trebuie \: radicalii} \\ \text{sa \: se \: reduca} \\ \implies \: 4 \sqrt{3} = t \sqrt{3} \\ \implies \: t = 4$