Question

2. Se consideră funcția f:(-1,+00) →R, f(x)= In (x+1).
a) Arătaţi că funcția F:(-1,+00) → R, F(x)=(x +1) In (x+1) - x este o primiti
a funcţiei f.
b) Determinați primitiva G a funcției f cu proprietatea că G(0)= 3.
c) Calculați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f, axa Ox şi dreptele de
ecuații x=0, x=e-1.​

Answer 1

Răspuns:a

Explicație pas cu pas:

a) Seaplica proprietatea F `(x)=f(x)

[(x+1)ln(x+1)-x] `=(x+1) `ln(x+1)+(x+1)*ln(x+!) `-x`=

ln(x+1)+(x+1)/(x+1)-1=ln(x+1)+1=1=

ln(x+1)

b)G(x)=(x+1)ln(x+1)-x+c

G(0)=3=>

(0+1)ln(0+1)-0+c=3

1*ln1+c=3

0+c=3

c=3

c)A=∫f(x)dx=F(x)║₀ᵃ⁻¹=F(e⁻¹)-F(0)=

(e⁻¹+1)*ln(e⁻¹+1)-e⁻⁻¹-[(0+1)ln(0+1)-0]=

e⁻¹ln(e⁻¹+1)-e⁻⁻¹=

e⁻⁻¹(ln(e⁻⁻¹+1)-1)