Question

2. Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}}{x}$ sii $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=e^{x} \ln x$.
$5 p$ a) Arătați că $\int_{1}^{2} x f(x) d x=e(e-1)$.
$5 p$ b) Calculați $\int_{e}^{e^{2}} \frac{g(x)}{x e^{x}} d x$.
$5 \mathbf{p}$ c) Demonstrați că $\int_{1}^{e}(f(x)+g(x)) d x=e^{e}$

Answer 1

$f(x)=\frac{e^{x}}{x}$

$g(x)=e^{x} \ln x$

a)

Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim f(x), astfel vom obtine:

$\int\limits^2_1 {x\frac{e^x}{x} } \, dx$

Se va simplifica x cu x si vom obtine:

$\int\limits^2_1 {e^x } \, dx=e^x\ |_1^2=e^2-e=e(e-1)$

b)

Pentru a calcula integrala va trebui sa inlocuim g(x), astfel vom obtine:

$\int\limits^{e^2}_e {\frac{e^x\times lnx}{xe^x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx$

Il vom scrie pe $\frac{1}{x} =(lnx)'$

$\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\int\limits^{e^2}_e {lnx\times (lnx)' } \, dx$

Stim ca (uⁿ)'=(n-1)uⁿ⁻¹×(u)'

Adica (ln²x)'=2lnx×(lnx)', astfel vom adauga si vom "da inapoi" un 2

$\int\limits^{e^2}_e {\frac{ lnx}{x} } \, dx =\frac{1}{2} \int\limits^{e^2}_e {2lnx\times (lnx)' } \, dx=\frac{1}{2} ln^2x\ |_e^{e^2}=\frac{1}{2}ln^2e^2-\frac{1}{2}ln^2e=2-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}$

c)

$\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx$

Luam cea de-a doua integrala si o vom integra prin parti, astfel:

$f=lnx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f'=\frac{1}{x} \\\\g=e^x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g=e^x$

$\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx$

Vom inlocui ce am aflat pentru a afla integrala noastra din cerinta:

$\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx +\int\limits^e_1 {e^xlnx} \, dx=\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx+e^xlnx\ _1^e-\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} } \, dx$

Observam ca cele doua integrale se reduc si ne va ramane:

$\int\limits^e_1 {\frac{e^x}{x} +e^xlnx} \, dx =e^xlnx\ _1^e=e^elne-e^1ln1=e^e$

Un exercitiu similar de bac gasesti aici: https://brainly.ro/tema/1021443

#BAC2022

#SPJ4