Question

2) Se consideră numărul a = 4^2n +3+3×16^n+1+36×4^2n-1, unde ne N*. a) Arată că numărul a reprezintă pătratul unui număr natural, pentru orice n € Nº. b) Demonstrează că √a este un număr natural par, pentru orice n = N*.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$a = {4}^{2n + 3} + 3 \cdot {16}^{n + 1} + 36 \cdot {4}^{2n - 1} =$

$= {4}^{3} \cdot {4}^{2n} + 3 \cdot 16 \cdot {( {4}^{2} )}^{n} + 4 \cdot 9 \cdot {4}^{2n - 1}$

$= 64 \cdot {4}^{2n} + 48 \cdot {4}^{2n} + 9 \cdot {4}^{2n}$

$= {4}^{2n} \cdot (64 + 48 + 9) = {4}^{2n} \cdot 121$

$= {4}^{2n} \cdot {11}^{2} = \bf {({4}^{n} \cdot 11)}^{2}$

→ a reprezintă pătratul unui număr natural, pentru orice n ∈ N*

b)

$\sqrt{a} = \sqrt{{({4}^{n} \cdot 11)}^{2}} = {4}^{n} \cdot 11 = {( {2}^{2} )}^{n} \cdot 11 = \bf {2}^{2n} \cdot 11 \ \vdots \ 2$

→ √a este divizibil cu 2 → √a este un număr natural par, pentru orice ∈ N*

q.e.d.