2. Se consideră paralelogramul ABCD cu AB=4, BC=2, BD=3. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABD, I centrul cercului înscris în triunghiul BCD şi Me (BC) astfel încât vectorul BM = 2 vectorul MC. Arătaţi că punctele G, I, M sunt coliniare.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Pentru a arăta că punctele G, I și M sunt coliniare, putem dovedi că G, I și M sunt punctele de diviziune ale segmentelor BC și BM în aceleași rapoarte.
Întâi, să calculăm lungimea segmentelor BM și MC. Având în vedere că vectorul BM = 2 vectorul MC, atunci BM = 2 x MC. Deoarece AB = 4, BC = 2 și BD = 3, atunci triunghiul ABD este echilateral. Astfel, MC = AB/2 = 4/2 = 2. Lungimea segmentului BM este egală cu 2 x MC = 2 x 2 = 4.
Acum, să arătăm că G, I și M sunt punctele de diviziune ale segmentelor BC și BM în aceleași rapoarte. Fie x lungimea segmentului BG și y lungimea segmentului MI. Având în vedere că G este centrul de greutate al triunghiului ABD, atunci x : (4-x) = 2:1. Aceasta înseamnă că x = 2 și (4-x) = 2, deci BG:GD = BC:BD. De asemenea, având în vedere că I este centrul cercului înscris în triunghiul BCD, atunci y : (2-y) = 2:1. Aceasta înseamnă că y = 1 și (2-y) = 1, deci MI:IC = BM:MC.
Având în vedere că BG:GD = BC:BD și MI:IC = BM:MC, atunci BG:MI:IC:GD este un șir aritmetic în care diferența dintre oricare două termeni consecutive este constantă. Astfel, punctele G, I și M sunt coliniare.