Question

20 puncte !

NU inteleg primul rand de la bareme , mi-l puteti explica va rog frumos ?



Vreau doar sa inteleg , de ce din faptul ca 3 si 4 sunt prime intre ele si din faptul ca 3(b+2)=4(a+1) rezulta ca 3|a+1 si din asta rezulta faptul ca valoarea comuna a fractiilor din nunt este numar intreg ! :(
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

(a + 1)/3 = (b + 2)/4

Pentru aceasta proportie scriem produsul mezilor = produsul extremilor

4(a + 1) = 3(b + 2)

cum 4 nu este divizibil cu 3, rezulta ca a + 1 este multiplu de 3

la fel, cum 3 nu este divizibil cu 4, rezulta ca b + 2 este multiplu de 4

Daca a + 1 este multiplu de 3 si b+ 2 este multiplu de 4, rezulta ca (a + 1)/3 este numar intreg si la fel, (b + 2)/4 este numar intreg.

daca primele doua rapoarte sunt numere intregi, al treilea nu poate fi un numar fractionar, rezulta deci ca c + 3 trebuie sa fie divizor al lui 5, adica -1, 1, -5, 5

Answer 2

$\it a,\ b,\ c\in\mathbb{Z},\ \ \dfrac{a+1}{3}=\dfrac{b+2}{4}=\dfrac{5}{c+3}\ \ \ \ \ (*)\\ \\ \\ \dfrac{a+1}{3}=\dfrac{b+2}{4}\ \Rightarrow\ a+1=\dfrac{3(b+2)}{4}\ \ \ \ (1)\\ \\ \\ a\in\matbb{Z}\ \Rightarrow\ a+1\in\mathbb{Z}\ \stackrel{(1)}{\Longrightarrow}\ \dfrac{3(b+2)}{4}\ \in\ \mathbb{Z}\ \Rightarrow\ b+2\in\ M_4\ \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow b+2=4k,\ k\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow\ b=4k-2\ \ \ \ \ (2)$

Acum, relația  (1)  devine:

$\it a+1=\dfrac{3\cdot 4k^{(4}}{4}\ \Rightarrow\ a+1=3k\ \Rightarrow\ a=3k-1\ \ \ \ \ (3)$

Relația  inițială  (*) devine:

$\it \dfrac{5}{c+3}=k\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow\ c+3\ |\ 5\ \Rightarrow\ c+3\in\{-5,\ -1,\ 1,\ 5\}|_{-3}\ \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow\ c\in\{-8,\ -4,\ -2,\ 2\}$

Pentru fiecare valoare a lui c se obține câte o valoare a lui a și b.