Question

21 Arătaţi că 2|(1^n+2^n+ 3^n), pentru orice număr natural n, diferit de 0

vă rog să mă ajutați dau coroană;))))​

Answer 1

Salutare!

Demonstrăm că 2|(1^n + 2^n+ 3^n), ∀n∈|N*.

Un număr divizibil cu 2 este un număr par.

înseamnă că ultima cifră trebuie să fie 0, 2, 4, 6, 8, reprezentată de 2k; k∈|N, k<5

acum urmărim suma:

1^n + 2^n+ 3^n

observăm că este reprezentată de numere cu puteri

să luăm 1^n:

1^n = 1, ∀n∈Z, deci se va aplica și pentru |N*

să luăm 2^n:

având în vedere că 2^n poate fi și un număr de cel puțin două cifre, vom lua ultima cifră

U(2^n)∈{2, 4, 8, 6}, ∀n∈|N*

iar pentru 3^n:

U(3^n)∈{3, 9, 7, 1}, ∀n∈|N*

având în vedere că numerele din mulțimi sunt în ordine, vom verifica suma ultimelor cifre:

1+2+3=6 :par ADEVĂRAT

1+4+9=14 :par ADEVĂRAT

1+8+7=16 :par ADEVĂRAT

1+6+1=8 :par ADEVĂRAT

cum obținem de fiecare dată număr par

⇒ 2|(1^n+2^n+ 3^n), ∀n∈|N*

Cu drag!