Question

22) Arătați ca numarul a=
$\sqrt{1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2009 + 2011 + 2013} este rational.$

+ exercitiul 23(vedeti in poza)

Answer 1

Răspuns

$a=\sqrt{1+3+5+7+.....2009+2011+2013} =$

1 + 3 + 5 + 7+.....2009 + 2011 + 2013 reprezinta o suma Gauss de numere impare de forma: 1 + 3 + 5 + 7+.....+(2n-1) care este egala cu n × n = n²

(2n - 1) = 2013⇒  2n = 2013 + 1 ⇒ 2n = 2014 ⇒ n = 1007

1 + 3 + 5 + 7+......+(2n-1) =  1 + 3 + 5 + 7+.....+ 2013 = 1007 ×1007 = (1007)²

$a=\sqrt{1+3+5+7+.....2009+2011+2013} =\sqrt{1007\cdot1007} =1007$

23.

a)

$a=\sqrt{(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot.....\cdot+2011)+2012}$

a = rad(1 · 3 · 5 · 7·.....2011) + 2012

numarul de sub radical este natural

(1 · 3 · 5 · 7·.....2011 se termina in 5 , pentru ca este 5 inmultit cu (1 · 3 · 5 · 7·.....2011 , un numar impar)

atunci

(1 · 3 · 5 · 7·.....2011) + 2012  se termina in 7

deci nu este patrat perfect, asta inseamna ca  radical din acest numar este irational

b)

$a=\sqrt{(1+3+5+7+.....2009+2011)+2012} =$

1 + 3 + 5 + 7+.....2009 + 2011  reprezinta o suma Gauss de numere impare de forma: 1 + 3 + 5 + 7+.....+(2n-1) care este egala cu n × n = n²

(2n - 1) = 2011⇒  2n = 2011 + 1 ⇒ 2n = 2012 ⇒ n = 1006

1 + 3 + 5 + 7+.....+(2n-1) =  1 + 3 + 5 + 7+.....+ 2011 = 1006 × 1006 = (1006)²

$a=\sqrt{1006\cdot1006+2012}=\sqrt{1012036+2012}=\sqrt{1014048}=1006,99950$