Question

22. Determinati perechile de numere intregi (a,b) pentru care |a - b| + |3a - 1007| ≤ 2.
23. Fie x,y,z,t apartin Z astfel incat x^2yz^2t^2 x (x-y+z) < 0 si x^2y^2 zt^2(y-z+t) < 0. Pot fi toate numerele x,y,z,t de acelasi semn?
25. Fie a,b,c trei numere intregi pozitive,astfel incat ab<c. Aratati ca a+b≤c.

Answer 1

Salut ,


22. Cum |a – b| ≥ 0 si |3a – 1007| ≥ 0 si din enunt |a – b| + |3a – 1007| ≤ 0, avem |a – b| = 0 si |3a – 1007| = 2 sau |a – b| = 1 si |3a – 1007| = 1 sau |a – 2| = 2 si |3a – 1007| = 0. Analizand toate cazurile, se obtine (a, b) ∈ {(335, 335); (336, 337)} .

23. Din x²yz²t²(x + y + z) < 0 => y si x – y + z au semne contrare (1). Analog din x²y²zt²(y – z + t) < 0 => z si y – z + t au semne contrare (2). 1) Presupunem ca toate numerele x, y, z, t sunt pozitive, din (1) => x – y + z < 0 <=> x + z < y (3) si din (2) => y – z + t < 0 <=> y + t < z (4). Adunand (3) cu (4) se obtine x + y + z + t < y + z <=> x + t < 0. Fals, deoarece am presupus x > 0, t > 0. 2) Analog, presupunand ca toate numerele x, y, z, t sunt negative se ajunge in final la relatia x + t > 0, care este falsa. In concluzie, nu toate cele patru numere au acelasi semn.

25. Cum a ∈ ℤ+ si b ∈ ℤ+ => a ≥ 1 si b ≥ 1 => a – 1 ≥ 0; b – 1 ≥ 0 => (a – 1)(b – 1) ≥ 0 => ab – a – b + 1 ≥ 0 => ab + 1 ≥ a + b <=> a + b ≤ ab + 1 => a + b ≤ c + 1 => a + b ≤ c.