Question

22 si 23 exercitile . Va rog

Answer 1

22. a. n=16c1+14
n=8c2+5
16c1+14=8c2+5 ⇔
16c1+9=8c2
8c2-16c1=8(c2-2c1)=9 ⇒fals deoarece diferenta a doua numere naturale multiplii de 8 va fi intotdeauna divizibila cu 8 nu cu 9⇒nu exista numere cu aceasta proprietate;
b. x=27c1+10
x=9c2+5
27c1+10=9c2+5 ⇔
27c1+5=9c2
9c2-27c1=9(c2-3c1)=5⇒fals deoarece diferenta a doua numere naturale multiplii de 9 va fi intotdeauna divizibila cu 9 nu cu 5⇒nu exista numere cu aceasta proprietate;
c. a=35c1+7
a=7c2+6
35c1+7=7c2+6 ⇔
35c1+1=7c2
7c2-35c1=7(c2-5c1)=1⇒fals deoarece diferenta a doua numere naturale multiplii de 5 va fi intotdeauna divizibila cu 5;aceasta nu poate fi egala cu 1(diferenta dintre doi multiplii naturali diferiti de-ai lui 5 este de cel putin 5)⇒nu exista numere cu aceasta proprietate;
23. 
a. Orice putere naturala nenula de-a lui 5 va avea ca ultima cifra 5.
u.c(2005²⁰¹⁴)=u.c(5²⁰¹⁴)=5
Orice putere naturala nenula de-a lui 6 va avea ca ultima cifra 6.
u.c(2006²⁰¹⁵)=u.c(6²⁰¹⁵0=6
In concluzie numarul nostru va fi de forma
10k+1(k∈N diferit de zero)⇒restul impartirii numarului la 10 este 1.
b. 8ⁿ+8ⁿ⁺¹+8ⁿ⁺²=
8ⁿ(1+8+8²)=
8ⁿ·73
Pentru numarul 8ⁿ cu n∈N ultima cifra poate fi {8;4;2;6}
Deci ultima cifra a numarului 8ⁿ·73 poate fi {4;2;6;8}
Numarul nostru va fi de forma
10k+4 sau 10k+2 sau 10k+6 sau 10k+8 ⇒resturile obtinute la impartirea cu 10 sunt {4;2;6;8}.