Question

22. Unui cerc i se circumscrie hexagonul regulat ABCDEF și i se înscrie hexagonul regulat MNPQRS astfel încât M,N,P,Q,R, S sunt mijloacele laturilor AB, BC, CD, DE, EF și, respectiv, FA. Dacă aria triunghiului BMN este 36v3 cm², aflați lungimile laturilor celor două hexagoane.​

Answer 1

Răspuns:

Intr-un hexagon regulat cu latura a, stim urmatoarele formule:

$A=\frac{3\sqrt{3} }{2} *a^{2} \\r_{u} = a\\r_{i} =\frac{a\sqrt{3} }{2}$

In problema noastra, putem calcula aria hexagonului ABCDEF (il voi nota cu H) fie direct, in functie de latura a, fie ca suma intre aria hexagonului inscris MNPQRS (il voi nota cu h) si de 6 ori aria triunghiului BMN.

$A_{H} =\frac{3\sqrt{3} }{2} *a^{2}$

$A_{h} =\frac{3\sqrt{3} }{2} *(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^{2}=\frac{9\sqrt{3} a^{2} }{8}$

$A_{H} = A_{h} +6*A_{BMN}$

$\frac{3\sqrt{3} }{2} *a^{2}=\frac{9\sqrt{3} }{8} *a^{2}+6*36\sqrt{3}$  |*8

$4*3\sqrt{3} *a^{2}=9\sqrt{3}*a^{2}+6*8*36\sqrt{3}$

$12\sqrt{3} *a^{2}-9\sqrt{3}*a^{2}=6*8*36\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}*a^{2}=6*8*36\sqrt{3}$

$a^{2}=6*8*12\\a=\sqrt{4*12*12} \\a=24$

avem deci latura hexagonului ABCDEF = 24

si latura hexagonului MNPQRS = $\frac{24\sqrt{3} }{2}$

Explicație pas cu pas: