Question

23. a) Efectuaţi : √(1-√2) la patrat - √2.
b) Arătaţi că numărul 9n patrat+ 6n +1 este pătrat perfect, pentru orice n ∈ N*.
c) Determinaţi valoarea minimă a expresiei E= √x patrat - 6x+9 + √ 9y patrat +6y +10, pentru orice x, y numere reale.
24. Fie expresia E(x)=(x+3) patrat +2(x-4)(x+3)+(x-4) patrat, cu x∈ R.
a) Calculaţi E=(√2) * E(-√2)
b) Determinaţi valorile întregi ale numărului real a pentru care E(a) are cea mai mică valoare posibilă.

Answer 1

[tex]23)\\a)\ \sqrt{(1-\sqrt2)^2}-\sqrt2=|1-\sqrt2|-\sqrt2=\sqrt2-1-\sqrt2=-1\\ b)\ 9n^2+6n+1=(3n)^2+2\cdot3n\cdot1+1^2=(3n+1)^2,\forall n\in\mathbb{N}\\ c)\ E=\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{9y^2+6y+1+9}=\sqrt{(x-3})^2}+\\\sqrt{(3y+1)^2+9} \\ \text{Deoarece }(x-3)^2\geq0,(3y+1)^2\geq0,\forall x,y\in\mathbb{R}\\ \text{rezulta ca valoarea minima a axpresiei $E$ se atinge atunci cand cele }\\ \text{doua paranteze se anuleaza, adica pentru }x=3,y=-\frac{1}{3},\\ \text{valori pentru care} E=3[/tex]
[tex]24)\\ E(x)=(x+3)^2+2(x+3)(x-4)+(x-4)^2=[(x+3)+(x-4)]^2=\\ =(2x-1)^2\\E(x)=(2x-1)^2,\forall x\in \mathbb{R} \\ a)\ E=\sqrt2\cdot E(-\sqrt2)=\sqrt2(-2\sqrt2-1)^2=9\sqrt2+8\\ b)\ \text{Observam ca }E(a)\geq0,\forall a\in \mathbb{Z}\\ \text{Daca $E(a)=0$, atunci $a$ nu este intreg} \\ \text{Pentru $a=0$ obinem $E(a)=1$, care este cea maimica valoare posibila.} [/tex]